すうがくパパ
こんにちは、すうがくパパです。
中学数学の中でも、空間図形は苦手に感じる人が多い単元です。
「立体が頭に浮かばない」「どこで三平方の定理を使えばいいかわからない」——そんな悩みを解消するには、“平面を切り出して考える発想”が欠かせません。
この記事では、空間図形を得意にするための考え方を、立方体を例にわかりやすく解説します。
立方体の対角線の長さを解いてみよう
ここでは、立方体の対角線の長さを解く問題を考えてみましょう。
一辺の長さを1とします。この図で対角線は、ACの長さを考えることになります。
ここで重要なのは、空間をながめるだけでは分からないので、平面を切り出して考えてみることです。
今回は直角三角形ABC（を含む平面）を切り出して考えることで、
直角三角形の辺の長さとしてACを求めればよいと分かります。
ここで辺BCの長さが問題になりますが、今度は立方体の底面を切り出すと、
底面が正方形になっているので、三平方の定理から
\(BC=\displaystyle\sqrt{1^2+1^2} =\sqrt2 \)
と分かります。
すると、\(AB=1\)、\(BC=\sqrt2\)から、三平方の定理より
\(AC^2=AB^2+BC^2\)なので
\(AC=\sqrt3\)と分かります。
応用問題にチャレンジ！
このように空間図形では、平面図形を切り出して三平方の定理を何回か使うことがコツになります。
マスターすると、こんな問題も簡単に解けますよ！
このケースでは、半球の中心をOとして、
Oと円錐の頂点を通り、円錐を垂直に切った断面（平面）を考えるとよいです。
この断面は以下のように二等辺三角形ができます。
ここで重要なのは、円錐の底面が半球の内壁に密着しているので、
半球の中心Oと円錐の底面の円周との距離が半球の半径(=5)になる点です。
そこで、赤い直角三角形に注目すると、
底辺が3（円錐の半径）、斜辺が5（半球の半径）なので、
三平方の定理より三角すいのうち水面より下の部分は4となり、
水面から出ている部分は6-4=2と解けます。
入試レベルの問題にもチャレンジ！
このように、三平方の定理を使いこなすことで、入試レベルの問題にも対応できます。
さらに実戦力を身に着けたいという人には、こちらのドリルにもぜひチャレンジしてください！
