空間図形から効果的に平面を切り出すためのコツとは？

立方体を切断した断面の面積を求めよう

ここでは以下の図のように、一辺の長さが4の立方体を切断した四角形（台形）ABCDの面積を考えてみます。
ここで点A、Dは立方体の辺の中点とします。

立方体の面はすべて一辺が4の正方形ですから、
\(AD=2\sqrt{2}、BC=4\sqrt{2}\)ですね。
問題はこの台形の高さをどう求めたらよいでしょうか？

必要な平面を切り出す ─ 長さを知りたい“線分”を含む面に注目

ここで、辺ABを含む立方体の面を見ると、以下のように\(AB=2\sqrt{5}\)と分かります。

また、ADからBCに引いた垂線の足をHとすると、
四角形ABCDは等脚台形なので、BHの長さは「BCとADの長さの差分」の半分となり、

\(\displaystyle(4\sqrt{2}-2\sqrt{2})\times\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)

になります。

したがって、△ABHに注目すると\(AH=3\sqrt{2}\)と分かります。

以上から、台形ABCDの面積は
\(\displaystyle(2\sqrt{2}+4\sqrt{2})\times3\sqrt{2}\times\frac{1}{2}=18\)
と解けます。

立方体の頂点から断面に下ろした垂線の長さを求める

次に、下図のように立方体の頂点Fから平面ABCDに下した垂線の長さを考えてみます。
四角すいF-ABCDの体積を計算した上で、台形ABCDの面積を使って高さを求めることもできますが、ここではもっとシンプルに計算できる方法を紹介しましょう。
どちらの方法にも共通しますが、点Fと平面ABCDとの位置関係が分かるようAB、FG、DCを上に伸ばしてみるのがポイントです。

AF:BG=FD:GC=1:2なので、AB、FG、DCを上に伸ばすと点Eで交わり、EA=AB=ED=DC、EF=FGの三角すいができあがります。

この三角すいをEBCを底面に置くと左右対称になることが分かります（EB=EC、BG=GC）。
そこでBCの中点をH、頂点Fから平面EBC（平面ABCD）に下ろした垂線の足をIとすると、
点Iは二等辺三角形EBCの中線EH上にあります。

点Hの位置関係を知るために頂点B・頂点Cを含む立方体の平面を切り出すと、このようになります。

また、点Iの位置関係を知るために平面EBCを切り出すと、このようになりますね。

しかし、肝心の頂点Fと点Iとの位置関係は分からないままです。
そこで、点F・点Iを含む平面として、△EGHを平面として切り出してみましょう。
ここで直線FIは平面ABCDに対する垂線なので、FIとEHは直交しています。
また、平面EGHは立方体を垂直に切った形になっているので、∠EGHも直角ですね。

相似を使って垂線の長さを求めよう

ここで\(GH=2\sqrt{2}、EF=FG=4\)

で、∠FGHと∠EIFが直角なので、△EFI∽△EGHを利用してFIの長さを求めましょう。

まず、△EGHは直角三角形なので、

\(EG^2+GH^2=EH^2より\)
\(EH=6\sqrt{2}\)です。
また、\(\displaystyle \frac{EF}{FI}=\frac{EH}{GH}\)より\(\displaystyle \frac{4}{FI}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)なので、
\(\displaystyle FI=\frac{4}{3}\)となります。

ちなみに、点Gから平面ABCD（△EBC）に下した垂線の足をJとすると、
△EFI∽△EGJ、EF:EG=1:2より、\(\displaystyle GJ=\frac{8}{3}\)と分かります。

いかがでしたか？
注目している線分を含む平面を「切り出す」ことで、立体のままでは分からない長さを計算することができますね！

次のステップへ！応用問題でレベルアップ！

ここまでで、
「どこに注目すればよいか」
「立体の中から、どんな平面を切り出せばよいか」
という考え方が見えてきたはずです。

ぜひ、次の問題にチャレンジして、空間図形の様々な応用問題に触れてみてください。

入試レベルの問題にチャレンジ！

また、noteでは、ハイレベルで入試本番にも頻出しそうな応用問題を厳選した
解き方が見つかる！中学数学「目のつけどころ」ドリル集
を公開しています（有料）。
「目のつけどころ」を丁寧に解説しているので、読むだけでも発想力・着想力が鍛えられます！
ぜひ見に来てください！